Informazioni generali

• Anno di corso: 2
• Semestre: 1
• CFU: 9

Docente responsabile

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Programma del corso

Serie numeriche

• Definizione e proprietà elementari
• Serie a termini non negativi
• Criteri di convergenza (confronto, radice, rapporto)
• Serie numeriche e integrali impropri
• Convergenza assoluta
• Serie a termini di segno qualsiasi, criterio di Leibniz

Successioni e serie di funzioni

• Convergenza puntuale e uniforme di successioni di funzioni
• Scambio di limiti con la derivata e l'integrale
• Serie di potenze
• Raggio di convergenza e criteri per determinarlo
• Derivazione e integrazione per serie
• Serie di Taylor, funzioni analitiche
• Serie di Fourier e applicazioni alla risoluzione di problemi differenziali

Calcolo differenziale per funzioni vettoriali

• Matrice jacobiana
• Rotore e divergenza di campi vettoriali, proprietà
• Massimi e minimi liberi
• Matrice hessiana, condizioni per la determinazione di estremi liberi
• Estremi vincolati, moltiplicatori di Lagrange (cenni)

Integrali multipli secondo Riemann

• Definizione di integrale multiplo secondo Riemann
• Calcolo dell'integrale mediante le formule di riduzione
• Insiemi misurabili secondo Peano-Jordan
• Insiemi di misura nulla e integrabilità di funzioni generalmente continue
• Integrazione di funzioni continue su domini semplici
• Cambio di variabili nell'integrale
• Coordinate cilindriche e polari nello spazio

Curve e campi vettoriali

• Curve nel piano e nello spazio: definizioni e proprietà
• Curve regolari, retta tangente
• Lunghezza di una curva, ascissa curvilinea
• Integrali curvilinei di funzioni e di campi vettoriali
• Campi vettoriali conservativi e irrotazionali, potenziale
• Il teorema di Gauss-Green e della divergenza nel piano

Funzioni di variabile complessa

• Funzioni olomorfe, esempi e proprietà
• Sviluppo in serie di potenze
• Punti singolari, serie di Laurent
• Formula di Cauchy
• Il teorema dei residui e sue applicazioni

Trasformata di Laplace

• Trasformata di Laplace, definizione ed esempi (es. funzione Gamma, funzione impulso etc)
• Proprieta' della trasformata: linearita', olomorfia, teoremi del valore iniziale e finale, smorzamento, similitudine e ritardo.
• Convoluzione e trasformata di integrali e derivate.
• Trasformata di funzioni periodiche.
• Antitrasformata di Laplace: teorema di unicita', teorema dei residui, antitrasformazione per serie.
• Applicazione della trasformata di Laplace alla soluzione di equazioni differenziali ordinarie lineari con termine forzante discontinuo o impulsivo.
• Trasformata di Fourier e applicazioni alla risoluzione di problemi differenziali (cenni)

Risultati d'apprendimento previsti

Completare lo studio delle nozioni fondamentali di analisi matematica con particolare attenzione agli aspetti geometrici del calcolo differenziale e integrale in più variabili e alle applicazioni in fisica.

Eventuali propedeuticità

Anche se non sono previste propedeuticità formali, prima di frequentare il corso di Analisi Matematica II è fortemente consigliato di aver sostenuto gli esami di Analisi Matematica I e Geometria.

Testi di riferimento

• R. A. Adams, Calcolo Differenziale 2, Casa Ed. Ambrosiana
• M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa, Matematica + 2 Eserciziari, Zanichelli
• M. Bertsch, R. Dal Passo, Giacomelli, Elementi di Analisi Matematica, McGraw-Hill
• B. P. Demidovic, Esercizi e problemi di Analisi Matematica, Editori Riuniti (solo esercizi)