Informazioni generali
- Anno di corso: 1
- Semestre: 1
- CFU: 12
Docenti responsabili
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Programma del corso
Numeri reali
- Estremo superiore ed inferiore e loro proprietà
- Potenze, radici e logaritmi
- Alcune nozioni di calcolo combinatorio
Funzioni reali di una variabile
- Dominio, immagine e grafico
- Funzioni monotone e funzioni invertibili
- Richiami sulle funzioni esponenziali, logaritmiche e trigonometriche Successioni
- Limite di una successione: definizione e proprietà
- Successioni monotone
- Forme indeterminate, limiti notevoli
- Sottosuccessioni, teorema di Bolzano-Weierstrass
- Il principio di induzione
Limiti di funzioni reali
- Intorni e punti di accumulazione sulla retta reale
- Limite di una funzione: definizione e proprietà
- Infinitesimi, infiniti e confronti
- Forme indeterminate, limiti notevoli
Continuità
- Funzioni continue
- Punti di discontinuità
- Massimi e minimi di funzioni continue, teorema di Weierstrass
- Teorema degli zeri
- Continuità della funzione inversa
- Uniforme continuità
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
- Derivabilità e retta tangente
- Derivata delle funzioni elementari, regole di derivazione
- Estremi locali e derivate
- Teorema di Rolle, del valor medio e di Cauchy
- Monotonia e derivate
- Teorema di de L'Hopital e applicazioni
- Derivate successive; concavità e convessità
- Studio del grafico di funzioni
- Il polinomio di Taylor, applicazioni al calcolo dei limiti
Numeri complessi
- Definizione
- Rappresentazione trigonometrica, coordinate polari
- Radici n-sime complesse
Calcolo differenziale per funzioni di più variabili
- Topologia in Rn: punti di accumulazione, insiemi aperti, chiusi, compatti
- Limiti e continuità in Rn
- Derivate parziali e direzionali
- Differenziabilità e piano tangente, gradiente
- Teorema del differenziale totale
(NB altri argomenti collegati verranno studiati nel corso di Analisi Matematica II)
Integrali
- Definizione di integrale di Riemann, proprietà
- Classi di funzioni integrabili
- Il teorema fondamentale del calcolo integrale
- Metodi di integrazione: integrazione per parti, per sostituzione
- Integrazione delle funzioni razionali
- Integrabilità' in senso improprio
- Criteri di convergenza: criterio del confronto e sue conseguenze
- Assoluta integrabilità in senso improprio
- Applicazioni alle funzioni speciali (es. funzione Gamma etc.)
Equazioni differenziali ordinarie
- Equazioni differenziali e problema di Cauchy
- Equazioni del primo ordine lineari
- Equazioni del primo ordine a variabili separabili
- Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee e non omogenee
- Applicazione all'equazione dell'oscillatore armonico
(NB altri argomenti collegati verranno studiati nel corso di Analisi Matematica II)
Risultati d'apprendimento previsti
Familiarizzazione con i concetti base dell'Analisi Matematica e con i primi rudimenti di calcolo. Apprendimento del linguaggio necessario per la formalizzazione matematica che verrà utilizzato negli altri corsi.
Eventuali propedeuticità
Non previste.
Testi di riferimento
- M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, "Elementi di Analisi Matematica", McGraw Hill, 2007.
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